Geometria Analítica - Área Triângular

Área do Triângulo (Geometria Analítica)

Aprendemos na GEOMETRIA PLANA que a área de um triângulo é base x altura dividida por 2. Iremos a partir daqui, estudar uma ramificação totalmente distinta, pois o triângulo que é estudado na Geometria Plana não é o mesmo estudo na GEOMETRIA ANALÍTICA. 

O Triângulo em si possui 3 retas dentro do plano, e automaticamente, possui coordenadas em cada vértice (o que também nos leva a confirmar que ele tem coeficientes m e n, e que ele tem equações reduzidas e gerais). Mas ao invés de calcular reta a reta, os matemáticos da época fizeram uso do mecanismo mais utilizado dentro de cálculos analíticos, o determinante. Ou seja, é possível saber a área de um triângulo através de um determinante. Veja a seguir:

Onde:

Xa e Ya = Coordenadas do Ponto A

Xb e Yb = Coordenadas do Ponto B

Xc e Yc = Coordenadas do Ponto C

D = Determinante Geral 

|   |  = Módulos

R = Qualquer número real

Detalhe: Para que serve o módulo? O Módulo serve para tornar qualquer número positivo, isto é, se porventura algum número negativo estiver em um módulo, o módulo o tornará positivo. Ex: |-3| = 3  ; |-y| = y . E se um número positivo estiver dentro do módulo, a operação é a mesma. Ex: |x| = x ; |345| = 345. 

Veja o exemplo a seguir:

1) Num plano cartesiano há 3 retas formando um triângulo. Uma reta passa pelos pontos A(2,-1), a outra passa pelo ponto B(0,2) e a outra passa pelo ponto C(4,5). Determine a área deste triângulo.

Ou seja, a partir de um determinante feito com os 3 pontos, seu resultado lançado no módulo e divido por 2, temos então nossa área do triângulo, que é 10u.a
OBS: "u.a" significa - unidade(s) de área