Geometria Analítica - Posição Relativas entre 2 Retas

• Condição de Paralelismo de duas retas

Existem vários elementos que comprovam o paralelismo entre 2 retas em um plano, dentre os quais cabe citar:
- Duas retas r e s são paralelas quando têm direções iguais;
- Duas retas r e s são paralelas quando o coeficiente angular de um (Mr) for igual ao coeficiente angular da outra reta (Ms)

Veja a ilustração a seguir:

De acordo com a ilustração acima podemos analisar a seguinte condição:

Ou seja: Para que uma reta seja paralela o coeficiente angular de uma reta tem que ser igual ao coeficiente angular da outra reta, e os coeficientes lineares têm que ser diferentes.

Siga o exemplo abaixo:

Exemplo: Dentro de um plano, há duas retas. Uma reta r de equação x+y-2 = 0 e outra reta s de equação x+y-4 = 0. Qual a posição relativa entre essas duas retas?
Analisemos: Temos duas equações:
r: x+y-2 = 0
s: x+y-4 = 0
Devemos então REDUZIR ambas equações para que possamos retirar os coeficientes angular e linear. Vamos lá?
x + y - 2 = 0
y = -x + 2
Então temos que Mr = -1 e Nr = 2
x + y - 4 = 0
y = -x+4
Então temos que Ms = -1 e Nr = 4

Se eu tenho coeficientes angulares iguais e lineares diferentes, minha posição relativa entre essas duas retas será de PARALELISMO.

• Retas Coincidentes dentro do Plano

Já vimos que existe retas paralelas dentro do plano, mas existem mais espécies de retas dentro do plano? Sim! Existem! Existe, por exemplo, as retas coincidentes (que particularmente é a matérias mais fácil dentro da disciplina de Posição Relativa entre 2 Retas). As retas coincidentes, aparentemente, parecem ser 1 só, pois uma está bem colada com a outra, daí o nome retas coincidentes. Veja a ilustração abaixo:

De acordo com a ilustração acima há duas retas; porém, ambas são coincidentes, o que nota-se aparentemente que é somente uma. E há uma "lei de formação" que possa ser feita para saber se é coincidente? Sim! Veja a seguir:

Ou seja: Para que uma reta seja coincidente à outra, é necessário que os coeficientes angulares e os coeficientes lineares sejam todos iguais (por isso que anteriormente eu disse que era a mais fácil das retas, porque se tudo tá igual é porque a reta é concorrente). Ok? Siga o exemplo abaixo:

Exemplo: Em um plano cartesiano foi desenhado 2 retas. Uma chamada de reta w de equação 3x + y - 3 = 0 e outra chamada de reta z de equação 6x + 2y - 6 = 0. Determine a posição relativa entre essas duas retas.
Temos que:
w: 3x + y - 3 = 0
O que devemos fazer? Reduzir esta equação que está na forma geral...
3x + y - 3 = 0
y = -3x + 3
Então temos que: Mw = -3 e Nw = 3
z: 6x + 2y - 6 = 0
Reduzindo...
2y = -6x + 6
y = -6x + 6     y = -3x + 3 
            2
Então temos que Mz = -3 e Nz = 3
ANALISANDO: Mw é igual à Mz, e Nw é igual à Nz, o que nos leva a concluir que a posição relativa entre essas duas retas é de Coincidência. 

• Retas Concorrentes - Perpendiculares e Não Perpendiculares

Sabemos na teoria matemática que, as retas concorrentes cruzam-se em um único ponto (a tão chamada: intersecção de duas retas), a partir dessa teoria tiramos nossas conclusões. Quais conclusões? Se são perpendiculares ou não perpendiculares.
Vamos trabalhar uma de cada vez.
Primeiro as concorrentes perpendiculares:
- A principal característica de uma reta perpendicular é: quando elas se cruzam elas formam um ângulo de 90º. Veja a ilustração a seguir:

De acordo com a ilustração acima podemos extrair dela informações:
- Ela é perpendicular, pois as retas que se interceptam no ponto P fazem um ângulo de 90º
- O ponto P é também chamado de ponto de perpendicularismo, ou melhor dizendo, ponto de intersecção das retas r e s

Existe uma nomenclatura bem simples para saber se as retas são ou não perpendiculares. Analise:

Ou seja: O Coeficiente Angular da Reta R multiplicado pelo Coeficiente Angular da Reta S tem necessariamente que resultar em -1. Veja o exemplo abaixo:

Exemplo: Qual a posição relativa de duas retas que possuem equações: x + y - 5 = 0  e  -x + y = 0 , respectivamente?
Vamos calcular a primeira equação
x + y - 5 = 0
REDUZINDO...
y = -x + 5
Temos que: m = -1 e n = 5
-x + y = 0
REDUZINDO...
y = x  
Temos que: m = 1 e n = 0
Agora, como saber se são perpendiculares? Lance os coeficientes angulares das duas retas na fórmula de perpendicularismo.
OBS: O Coeficiente Linear (n) não nos importa no perpendicularismo.
Mr . Ms = -1
(-1) . 1 = -1
Então conclui-se que essas retas são perpendiculares.

• Retas Não Perpendiculares

Anteriormente vimos que, as retas perpendiculares são retas que quando "cruzadas" fazem um ângulo de 90º; sabemos também que o produto de seus coeficientes angulares equivalem a -1.
Pois bem... Retas não perpendiculares são apenas o contrário das características das perpendiculares, pois não fazem ângulos de 90º e os coeficientes angulares devem ser diferentes.
Analise a ilustração:

Note que mesmo estas retas tenham uma posição relativa não perpendicular, elas possuem uma característica do perpendicularismo: Ambos assuntos afirmam que as suas retas passam pelo ponto p, isto é, se interceptam neste ponto.
Veja o exemplo de ajuda abaixo:

Exemplo: Túlio desenhou numa malha quadriculada duas retas em um plano. Um professor de matemática analisou e chegou a conclusão de que as retas que Túlio desenhou tinham as respectivas equações: 2x + y - 6 = 0 e -2x + y + 1 = 0. A partir das equações, determine a posição relativa entre essas duas retas.
2x + y - 6 = 0
REDUZINDO...
y = -2x + 6     (m = -2 e n = 6)
-2x + y + 1 = 0
y = 2x - 1       (m = 2 e n = -1)
Note que os coeficientes angulares são diferentes, sendo assim essas retas são NÃO PERPENDICULARES.
OBS: Não é obrigatório olhar o valor do coeficiente linear, pois ele não nos importa no estudo de retas perpendiculares e não perpendiculares.