Atividades de Geometria Analítica - Retas

Atividades - Geometria Analítica - Retas

1) Duas retas de equações: y = 3x + 1 e -3x + y - 1 = 0 foram desenhadas em uma folha de caderno de um aluno de 3ºAno. Determine a posição relativa entre essas retas.

2) Em um Plano Cartesiano, foi esboçada duas retas r e s. A reta r passa pelos pontos A(2,3) e B(6,2) e a reta s passa pelos pontos K(-1,0) e W(2,-1).

a) Determine os coeficientes angulares e lineares de ambas as retas.

b) Determine o ponto médio das retas r e s.

c) Determine a distância entre os pontos da reta r

d) Determine a distância entre os pontos da reta s

3) Antônio esboçou um triângulo numa malha quadriculada como na ilustração abaixo:

Com base neste triângulo, o Ponto G, a Área deste triângulo e o quadrante em que o baricentro está localizado, são respectivamente...
a) G(11/3, 2) , 30u.a, 2º quadrante
b) G(2, 11/3) , 15u.a, 2º quadrante
c) G(11/3, 2) , 15u.a, 1º quadrante
d) G(11/3, 2) , 30u.a, 1º quadrante

4) O gráfico abaixo apresenta o comportamento de um resistor.

Determine os coeficientes angular e linear das duas retas.
(OBS: Desconsidere a origem)

5) Qual a medida de um segmento de reta com extremidades nos pontos P(8,0) e Q(0,6)?

6) O que se pode afirmar da reta abaixo?

a) É colinear.
b) Possui coeficiente angular 0 e linear 2
c) Passa pelos pontos (-2,0) e (0,2) que fazem parte do 1º e 3º quadrantes respectivamente.
d) Possui coeficiente linear 2
e) Sua equação geral é x= y+2

7) Considere um triângulo que passa pelos pontos A(2,0) B(0,0) e C(1,1). Qual a área desse triângulo em u.a?

8) Analise as equações abaixo:
I. 2x+y-3 = 0
II. x+y = 0
III. y = x
IV. y²=x²+5
V. y = 2x+10
Qual das equações acima são equações reduzidas da reta?
a) I e II    b) I e IV    c) II e III    d) III e IV    e) III e V

9) Se uma bissetriz passa pela origem e atinge os pontos (3,3) e (-1,-3), então essa bissetriz pertence...
a) Aos quadrantes ímpares;
b) Aos quadrantes pares;
c) A nenhum quadrante;
d) aos colineares.

10) Determine a área de um triângulo cujas extremidades passam nos pontos A(origem) B(5,-3) C (10, 1/2).
a)63u.a
b)64u.a
c)65u.a
d)66u.a
e)67u.a

Respostas

1) Temos que:

y = 3x + 1 e -3x + y - 1 = 0

Para determinar posição relativa devemos retirar os coeficientes angulares das retas. OBS: Note que a 2ª equação está na forma GERAL então deve-se REDUZIR ela. Mas vamos passo a passo:

Equação 1: m = 3 e n = 1

Equação 2: -3x + y - 1 = 0

                   y = 3x + 1   ---> m = 3 e n = 1

Chegamos então a conclusão de que a única espécie de reta que possui coeficientes angulares e lineares iguais, é reta coincidente.

Então, são RETAS COINCIDENTES

2)

a)

 Achamos os coeficientes angular e linear da reta r, faremos agora os coeficientes da reta s...

Temos então os coeficientes da reta s, como mostra o círculo acima.

b) Calculando o ponto médio da reta r
Xa + Xb  =  2 + 6  =  8  = 4u.c
      2               2          2
Ya + Yb = 3 + 2 =  5 u.c            

      2             2        2
Ou seja, o ponto médio da reta r é M(4, 5/2).
Ok. Agora que sabemos o ponto médio da reta r, vamos descobrir o ponto médio da reta s.
Xa + Xb  =  -1 + 2  =  1 u.c
      2                2          2
Ya + Yb  =  0 - 1  =  -1  u.c
      2              2           2
Ou seja, o ponto médio da reta s é M(1/2 , -1/2)
Bem simples né?!

c e d) Determinar a distância entre os pontos. Para isso precisaremos das 4 coordenadas para fazermos 2 contas, igual ao exercício anterior. Veja:

3) Devemos analisar todos os pontos que o exercício deu na imagem. Primeiramente iremos calcular o Ponto G (Baricentro)
Xa + Xb + Xc  =  4+7+0  =  11u.c
           3                     3           3
Ya + Yb + Yc  =  5+2+(-1)  =  7-1  = 6 = 2u.c
           3                      3              3       3
Então descobrimos que as coordenadas do Ponto G é G(11/3 , 2)
Vamos agora calcular a área. 

Então descobrimos também que a área deste triângulo é 15u.a.
E como contamos os quadrantes em sentido anti-horário, o quadrante em que se localiza o Ponto G é o 1º quadrante.

4) Primeiramente, faremos o determinante com os pontos da reta R...

Agora vamos fazer o determinante com os pontos da reta S...

OBS: Chegamos então nas respostas dos coeficientes que estão nas chaves acima.

5) Temos que ter em mente que quando se fala de MEDIDA (na Geometria Analítica) ele quer saber a quantidade, isto é, a unidade de comprimento da reta (u.c).E só conseguimos achá-la por meio da fórmula da distância entre 2 pontos. Veja:

6) Logo de cara analisamos que não pode ser colinear (pois precisaria de 3 pontos numa única reta). Então descartamos a Letra A. Quando os pontos estão em cima do plano, elas não pertencem à NENHUM quadrante, então a Letra C também está errada. Agora precisamos fazer um determinante para descobrir a equação geral e reduzida desta reta.

A seta roxa aponta que o coeficiente linear é 2, então a alternativa que aponta que o coeficiente linear é 2, é a Letra D.

7) Para descobrirmos uma área de um triângulo analítico, devemos usar o módulo do determinante dividido por 2. Veja:

8) Vamos analisar uma a uma.
- A primeira não é reduzida, é geral.
- A segunda também é uma equação geral.
-A terceira é uma equação reduzida da reta, pois tem a incógnita "y" isolada no primeiro membro (Alternativa verdadeira)
- A quarta não é reduzida pois tem termos elevados ao quadrado
- A quinta com certeza é uma equação reduzida, pois também apresenta a variável "y" isolada no primeiro membro.
ALTERNATIVAS VERDADEIRAS: III e V (Letra E)

9) Podemos resolvê-lo pela lógica, mas vamos esboçar para obter mais clareza do fundamento da resposta...

Note que a bissetriz foi desenhada do mesmo jeito supracitado no enunciado. Os números romanos estão assumindo o papel do quadrante respectivo, ou seja, o ponto (3,3) pertence ao quadrante 1, o ponto (-1,-3) pertence ao quadrante 3. Como 1 e 3 são ímpares, então essa é uma bissetriz dos quadrantes ímpares.
ALTERNATIVA CORRETA: Letra A

10) Vamos lançar os pontos no determinante e logo em seguida aplicar a fórmula da Área Triangular...

Resposta Final: Letra C.

"A matemática não mente, mente quem faz mal uso dela"

Albert Einstein

OBRIGADO!!